水曜日

ふーむ。どうも平均場近似でひっかかって膨大な時間をつぶしてしまった。しかし、お蔭で見えてきた。

まず、この問題では、「いんちき平均場」で計算するのは筋違いだ、ということ。真面目に考えれば考えるほど、平均場近似って訳が分からなくなってきた。ファンデルワールスは素晴らしい。（ちゃんと背景を抑えていないけれど、きっとワイスも素晴らしい。）しかし、これらが素晴らしいのは物理の描像をきっちり抑えているからであって、統計力学の問題として何をやっているのか理解するのは簡単ではない。（Kac 模型での計算はそのうちに抑えないとなぁ。）今のタイル問題では、確かにホールの間にエントロピー力が生まれて、それがある一定以上ならファンデルワールスと同じように転移が生じる。これはいい。実際それを示すには、力の大きさの評価が必要で、そこはどうしても適当なごまかしが入る。しかもその入り方で転移があったりなかったりする。どうも気持ち悪い。そんなことなら、エントロピー力が生まれることだけいって、条件が整えば転移が生じる、、というだけで十分だ。しかし、なんだ、、それって全然面白くねぇな〜。しかし、そうはいっても仕方ないので苦しみながらノートを書く。

あぁ、だめだ。つまらん、、と天井を睨む。概略だとしても計算して見せるなら、この問題特有の描像がないとダメだ。エントロピー力は落とし穴かもな。虚心に問題を見て、いつ転移が起こるか考えよう。。。。タイル密度が小さいとタイルは色々簡単におけるが、タイル密度がある程度より大きくなるど急激におきにくくなる。これは、穴があっても、穴の位置を指定したときのタイルの配置エントロピーが示量的にならないからだ。。（エントロピー密度は穴の配置だけからくる。）つまり、タイルの組み合わせエントロピー密度が有限からゼロになる化学ポテンシャルの有限値があって、それが転移点だ。。ガラスの平均場理論でさんざん計算されている描像とも対応する。

今の問題でその描像を計算すればいいじゃないか。タイルの自由度がいつ凍結するか...。ほう、これはX-模型の構成方法から議論できるぞ。ざざっと超大ざっぱに評価すると、ほう、化学ポテンシャルの転移点は大体３か。。数値実験は４．４だから値も悪くない。（ちなみに、40x 40 も収束して32x32 と同じところで転移した。数値実験レベルでは確定といってよい。）作業仮説がひとつ入るけれど、それを除けば、統計力学としてちゃんと問題を書くこともできる。磁場中AF Isingの磁化とエネルギーが分かればいい。逆温度が0.17 のところだから、高温展開でいいや。。どうやるんだ、、よくわからんが、適当にやってみた。高温展開で具体的に計算するのは生まれて初めてだな。最低次はこれでいいんだろうか。。おおざっぱな値（＝きっと高温展開の０次と同じ？）からちょいと変わるが大体同じ。（どっちみち作業仮説の任意性が大きいのでこれ以上はつめない。作業仮説は別件で調べれるのでそのうちにちゃんとつめる。）

よし、これは悪くない。「いんちき平均場」で状態方程式をひねくり出すよりずっと気持ちがいい。ふー。明日から動き始めるだろう。。しかし、もう本当に冬休みが終わってしまった。（冬休み中にやる予定になっていて）色々と出来ていないことが多いのだけれど。